Question

在△ABC中，已知acosB+bcosA=b，
（1）求证C=B；
（2）若∠ABC的平分线交AC于D，且sin

A

4

=

3

5

，求

BD

DC

的值．

Answer 1

分析：（1）由acosB+bcosA=b 和正弦定理可得 sin（A+B）=sinB，即sinC=sinB，C=B．
（2）△BCD中，用正弦定理可得

BD

DC

=

sinC

sin B 2

=2cos

C

2

，设 A=x，B=2α=C，由4α+x=180°得到 α+

A

4

=45°，利用两角差的余弦公式求出cosα=cos（45°-

A

4

） 的值，即可得到

BD

DC

的值．

解答：解：（1）∵acosB+bcosA=b，由正弦定理可得 sinAcosB+cosAsinB=sinB，
∴sin（A+B）=sinB，即sinC=sinB，∴b=c，∴C=B．
（2）△BCD中，用正弦定理可得

BD

DC

=

sinC

sin B 2

，由第一问知道C=B，而BD是角平分线，
∴

BD

DC

=2cos

C

2

．
由于三角形内角和为180°，设 A=x，B=2α=C，那么4α+x=180°，故α+

A

4

=45°．
∵sin

A

4

=

3

5

，∴cos

A

4

=

4

5

，∴cosα=cos（45°-

A

4

）=cos45°cos

A

4

+sin45°sin

A

4

=

7 2

10

．
∴

BD

DC

=2cos

C

2

=2cosα=

7 2

5

．

点评：本题主要考查正弦定理、两角和差的三角公式的应用，得到

BD

DC

=2cos

C

2

=2cosα，及α+

A

4

=45°，是解题的关键．