Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、E、F分别是棱A₁B₁、A₁D₁、B₁C₁、C₁D₁的中点，AB=a．
（1）求证：平面AMN∥平面EFDB；
（2）求异面直线BE与MN之间的距离．

Answer 1

分析：（1）要证：平面AMN∥平面EFDB，证明MN∥平面EFDB．AM∥平面EFDB，即可；
（2）求异面直线BE与MN之间的距离，转化为两平行平面之间的距离．

解答：（1）证明：∵MN∥EF，∴MN∥平面EFDB．
又AM∥DF，
∴AM∥平面EFDB．而MN∩AM=M，
∴平面AMN∥平面EFDB．
（2）解：∵BE?平面EFDB，MN?平面AMN，且平面AMN∥平面EFDB，
∴BE与MN之间的距离等于两平行平面之间的距离．
作出这两个平面与平面A₁ACC₁的交线AP、OQ，作OH⊥AP于H．
∵DB⊥平面A₁ACC₁，
∴DB⊥OH．而MN∥DB，∴OH⊥MN．
则OH⊥平面AMN．
∵A₁P=

2

4

a，AP=

3 2

4

a，
设∠A₁AP=θ，则cosθ=

a

3 2 4 a

=

2 2

3

，
∴OH=AO•sinθ=

2

2

a•

2 2

3

a=

2

3

a．
∴异面直线BE与MN的距离是

2

3

a．

点评：本题考查平面与平面平行，异面直线间的距离，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．