Question

已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．
（1）求a，b的值，并判断f（x）的单调性；
（2）若对于任意t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，b=1．
又f（-1）=-f（1），得a=-1．
经检验a=-1，b=1符合题意．
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=-=．
∵x₁＜x₂，∴＞0，又（）（）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）为R上的减函数．
（2）因为不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，
所以f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
因为f（x）为奇函数，所以f（t²-2t）＜f（k-2t²），
又f（x）为减函数，所以t²-2t＞k-2t²，即k＜3t²-2t恒成立，
而3t²-2t=3-≥-，
所以k＜-．
分析：（1）由奇函数性质得：f（0）=0，f（-1）=-f（1），可求出a，b值，根据单调性的定义即可作出判断；
（2）由函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，变为具体不等式恒成立，从而可转化为函数最值问题解决．
点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查不等式恒成立问题，关于函数的奇偶性、单调性常利用定义解决，而恒成立问题则转化为函数最值问题．