Question

如图，设抛物线C：y=x²的焦点为F，动点P在直线l：x-y-2=0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点．
（1）求△APB的重心G的轨迹方程．
（2）证明∠PFA=∠PFB．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出A、B坐标，写出切线PA、PB方程，得到点P坐标，利用三角形重心坐标公式求重心G坐标．
（2）利用两个向量的夹角公式计算cos∠AFP和cos∠BFP相等，从而得到∠AFP=∠PFB．
方法2：利用P点到直线AF的距离和P点到直线BF的距离相等，可得FP 是AF和BF角平分线，故∠AFP=∠PFB．
解答：解：（1）设切点A、B坐标分别为（x，x²）和（x₁，x₁²）（（x₁≠x），
∴切线AP的方程为：2xx-y-x²=0；切线BP的方程为：2x₁x-y-x₁²=0．
解得P点的坐标为：x_P=，y_P=xx₁．
所以△APB的重心G的坐标为，y_G====，
所以y_p=-3y_G+4x_G²．
由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：x-（-3y+4x²）-2=0，即y=（4x²-x+2）．
（2）方法1：因为=（x，x²-），=（，xx₁-），=（x₁，x₁²-）．
由于P点在抛物线外，则||≠0．
∴cos∠AFP===，
同理有cos∠BFP===，
∴∠AFP=∠PFB．
方法2：①当x₁x=0时，由于x₁≠x，不妨设x=0，则y=0，所以P点坐标为（，0），
则P点到直线AF的距离为：d₁=．
而直线BF的方程：y-=x，即（x₁²-）x-x₁y+=0-0．
所以P点到直线BF的距离为：d₂===
所以d₁=d₂，即得∠AFP=∠PFB．
②当x₁x≠0时，直线AF的方程：y-=（x-0），即（x²-）x-xy+=0，
直线BF的方程：y-=（x-0），即（x₁²-）x-x₁y+=0，
所以P点到直线AF的距离为：d₁===，
同理可得到P点到直线BF的距离d₂=，因此由d₁=d₂，可得到∠AFP=∠PFB．
点评：方法一利用两个向量的夹角公式，方法二利用到角的两边距离相等的点在角的平分线上，分两种情况讨论，
方法一比方法二简单，属于中档题．