Question

如图，一个正四棱柱的底面棱长为2，高为

2

，其下底面位于半球的大圆上，上底面四个顶点都在半球面上，则其上底面相邻两顶点间的球面距离为（　　）

• A、

  π

  2

• B、

  2π

  3

• C、

  2 π

  2

• D、

  3π

  2

Answer 1

分析：设四棱柱上顶点为A，B，C，D，下顶点为A′，B′，C′，D′，圆心为O，连接OB，OC，OB′，OC′，依题意可知OB′，OC′的值，进而根据勾股定理求得OB，OC的值．推断出△OBC为等边三角形，求得∠BOC，进而求得面BOC所在的圆的周长，根据∠BOC的值求得答案．

解答：解：设四棱柱上顶点为A，B，C，D，下顶点为A′，B′，C′，D′，圆心为O，连接OB，OC，OB′，OC′，
依题意可知OC′=OB′=

1

2

×2

2

=

2

，
∴OC=OB=

2+2

=2
∴OC=OB=BC
∴∠BOC=

π

3

，球半径r=2；
∴上底面相邻两顶点间的球面距离为4π×

π 3

2π

=

2π

3

故选B

点评：本题主要考查了球内接多面体的计算．考查了学生观察分析问题的能力，三维空间的能力．