Question

如图，在多面体ABCDE中，CD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，且AC=BC=CD=1，AB=

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．
（1）求直线AD与平面ABC所成角的大小；
（2）求证：AC⊥平面BCDE；
（3）在AB上是否存在点F，使CF⊥AE？若存在，说明F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）以C为坐标原点，以CA，CB，CD分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，分别求出几何体中各顶点的坐标，进而求出直线AD的方向向量与平面ABC的法向量，代入向量夹角公式，即可求出直线AD与平面ABC所成角的大小；
（2）由已知中AC=BC=1，AB=

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．由勾股定理易得AC⊥BC．又由CD⊥平面ABC，结合线面垂直的性质得到DC⊥AC，结合线面垂直的判定定理，即可得到AC⊥平面BCDE；
（3）在取AB的中点F，连接CF，根据等腰三角形“三线合一”的性质及BE⊥平面ABC，结合线面垂直的判定及性质，易得到CF⊥平面ABE，再由线面垂直的性质即可得到答案．

解答：解：∵AC=BC=1，AB=

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，∴AC⊥BC，
又由CD⊥平面ABC，可得CA，CB，CD两两垂直
以C为坐标原点，以CA，CB，CD分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系
则C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，0，1），
（1）则

AD

=（-1，0，1），易得

CD

=（0，0，1）为平面ABC的一个法向量
设直线AD与平面ABC所成角为θ
则sinθ=|

AD • CD

| AD |•| CD |

|=

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故θ=45°
故直线AD与平面ABC所成角为45；
（2）由已知CD⊥平面ABC，
∴CD⊥AC，又由AC=BC=1，AB=

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，∴AC⊥BC，
又∵AC∩BC=C
故AC⊥平面BCDE；
（3）取AB的中点F，即为所求，
连接CF，
由AC=BC，∴CF⊥AB
又∵BE⊥平面ABC，∴BE⊥CF
又∵AB∩BE=B
∴CF⊥平面ABE
又∵AE?平面ABE
∴CF⊥AE

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面垂直的判定，其中熟练掌握空间直线与平面垂直、平行的判定、性质、定义、几何特征，是解答本题的关键．