Question

数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意的，总有成等差数列.

(1)求；

(2)求数列的通项公式；

(3)设数列的前项和为，且，求证:对任意正整数，总有

 

Answer 1

【答案】

（1）1；（2）；（3）求出.

【解析】

试题分析：本题考查计算能力和数学转化思想.（1）由成等差数列，列出式子，代入可求；（2）由前n项和公式，可将转化为，即，可求得；（3）用裂项相消法求出前n项和.

试题解析：（1）由已知：对于任意的，总有成等差数列，

 

令， 即

又因为数列的各项均为正数，所以 

（2）          ①

   ②

由①-②得：

即即

均为正数

∴数列是公差为1的等差数列

（3） 

当时，

当时，

 

所以对任意正整数，总有.

考点：（1）数列前n项和与通项公式之间的关系；（2）等差数列的通项公式；（3）裂项相消法在数列求和中的应用.