Question

在△ABC中，已知tanA=

1

2

，tanB=

1

3

，该三角形的最长边为1，
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）求△ABC的面积S．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据两角和的正切函数的公式求出tan（A+B）的值，根据三角形的内角和定理得到A+B的度数即可得到C的度数；
（Ⅱ）因为三角形为钝角三角形，∠C为钝角，所以c=1，然后利用先切互化公式求出sinB和sinA，再根据正弦定理求出b，利用正弦定理求出三角形的面积即可．

解答：解：（Ⅰ）由tan(A+B)=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=1，
而在△ABC中，0＜A+B＜π，
所以A+B=

π

4

，则C=

3

4

π；
（Ⅱ）在△ABC中，
∵∠C是钝角，
∴边c最长，从而c=1
由tanB=

1

3

，得sinB=

10

10

.
由tanA=

1

2

，得sinA=

5

5

由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

，得b=

5

5

.
∴△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

1

10

．

点评：考查学生会根据三角函数的值求对应的角，灵活运用先切互化的公式解决问题，以及会用正弦定理求三角形的面积．