Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x²-6x+1．
（Ⅰ）求函数y=

4f(x)

x

+g(x)的单调递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅲ）试判断方程lnx=

1

ex

-

2

ex

（其中e=2.718…）是否有实数解？并说明理由．

Answer 1

分析：（I）利用导数的运算法则得到y^′，（x＞0），令y^′＞0，解出即可得到其单调递增区间；
（II）利用导数的运算法则得到f^′（x），进而可得到其单调区间．分类讨论：当0＜t＜

1

e

时与当t≥

1

e

时的单调性，即可得到其最小值；
（III）方程lnx=

1

ex

-

2

ex

（其中e=2.718…）?xlnx=

x

ex

-

2

e

（x＞0）．令u（x）=xlnx，v（x）=

x

ex

-

2

e

．（x＞0）．利用导数分别研究u（x）的最大值与v（x）的最小值，进行比较即可．

解答：解：（Ⅰ）函数y=

4f(x)

x

+g(x)=4lnx+x²-6x+1，（x＞0），
∴y′=

4

x

+2x-6=

2x2-6x+4

x

=

2(x-1)(x-2)

x

，
令y^′＞0，解得0＜x＜1或x＞2，
∴函数y=

4f(x)

x

+g(x)的单调递增区间是（0，1）和（1，+∞）．
（II）f^′（x）=lnx+1，令f^′（x）=0，解得x=

1

e

．
当0＜x＜

1

e

时，f^′（x）＜0，函数f（x）在(0，

1

e

)上单调递减；当x＞

1

e

时，f^′（x）＞0，函数f（x）在(0，

1

e

)上单调递增．
①当0＜t＜

1

e

时，x∈[t，

1

e

)时，函数f（x）单调递减；x∈(

1

e

，t+2]，函数f（x）单调递增，
因此当x=

1

e

时，f（x）取得极小值，也即最小值，且f(

1

e

)=

1

e

ln

1

e

=-

1

e

．
②当t≥

1

e

时，f（x）在区间[t，t+2]内单调递增，因此x=t时，函数f（x）取得最小值，且f（t）=tlnt．
（Ⅲ）方程lnx=

1

ex

-

2

ex

（其中e=2.718…）?xlnx=

x

ex

-

2

e

（x＞0）．
令u（x）=xlnx，v（x）=

x

ex

-

2

e

．（x＞0）．
由（II）可知：u（x）在x=

1

e

时取得极小值，也即最小值-

1

e

．
v′(x)=

ex-xex

e2x

=

1-x

ex

，当0＜x＜1时，v^′（x）＞0，函数v（x）单调递增；当1＜x时，v^′（x）＜0，函数v（x）单调递减．
因此当x=1时，v（x）取得极大值，也即最大值v（1）=

1

e

-

2

e

=-

1

e

．
而当x=1时，u（1）=0＞-

1

e

=v（1），故方程lnx=

1

ex

-

2

ex

（其中e=2.718…）无实数解．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、分类讨论的思想方法是解题的关键．