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“对任意的正整数n，不等式nlga＜(n+1)lga
n
(a＞0)都成立”的一个充分不必要条件是
[ ]
A．0＜a＜1
B．0＜a＜
C．0＜a＜2
D．0＜a＜
或a＞1
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B
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在数列{a
n
}中，a
1
=1，a
n+1
=2a
n
+2
n
．
（1）设
b
n
=
a
n
2
n-1
（n∈N
*
），证明：数列{b
n
}是等差数列；
（2）设数列{a
n
}的前n项和为S
n
，求
lim
n→∞
S
n
n•
2
n+1
的值；
（3）设c
n
=2b
n
-1，数列{c
n
}的前n项和为T
n
，
d
n
=
T
n
4
a
2
n
-
T
n
，是否存在实数t，使得对任意的正整数n和实数m∈[1，2]，都有d
1
+d
2
+d
3
+…+d
n
≥log
8
（2m+t）成立？请说明理由．
设函数f（x）=（2-a）lnx+
1
x
+2ax．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a≠0时，求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a=2时，对任意的正整数n，在区间[
1
2
，6+n+
1
n
]上总有m+4个数使得f（a
1
）+f（a
2
）+f（a
3
）+…+f（a
m
）＜f（a
m+1
）+f（a
m+2
）+f（a
m+3
）+f（a
m+4
）成立，试问：正整数m是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
设C
1
，C
2
，…，C
n
，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线
y=
3
3
x
相切，对每一个正整数n，圆C
n
都与圆C
n+1
相互外切，以r
n
表示C
n
的半径，以（λ
n
，0）表示C
n
的圆心，已知{r
n
}为递增数列．
（1）证明{r
n
}为等比数列（提示：
r
n
λ
n
=sinθ
，其中θ为直线
y=
3
3
x
的倾斜角）；
（2）设r
1
=1，求数列
{
n
r
n
}
的前n项和S
n
；
（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n恒有不等式
S
n
＞
9
4
-
an
r
n
成立，求实数a的取值范围．
（2009•河西区二模）已知等差数列{a
n
}满足a
3
+a
4
=9，a
2
+a
6
=10；又数列{b
n
}满足nb
1
+（n-1）b
2
+…+2b
n-1
+b
n
=S
n
，其中S
n
是首项为1，公比为
8
9
的等比数列的前n项和．
（1）求a
n
的表达式；
（2）若c
n
=-a
n
b
n
，试问数列{c
n
}中是否存在整数k，使得对任意的正整数n都有c
n
≤c
k
成立？并证明你的结论．
已知数列{a
n
}对任意的正整数n都有a
n
-2a
n+1
=0，a
1
=2，数列{b
n
}满足对任意正整数n，b
n
是a
n
和a
n+1
的等差中项，则数列{b
n
}的前10项和为
3069
1024
3069
1024
．
关 闭
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或a＞1 或a＞1 
或a＞1 
设C1，C2，…，Cn，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线