Question

已知函数，m∈R．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）若lnx-ax＜0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由导数运算法则知，，再利用导数与单调性关系解得即可；
（2）存在性问题，只需等价于只需在（0，+∞）上的最大值小于a即可，函数的最值问题利用导数解决．
解答：解：（Ⅰ）由导数运算法则知，．
令f'（x）=0，得x=e^m．（3分）
当x∈（0，e^m）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（e^m，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．
故当x=e^m时，f（x）有极大值，且极大值为f（e^m）=e^-m．（6分）
（Ⅱ）欲使lnx-ax＜0在（0，+∞）上恒成立，只需在（0，+∞）上恒成立，
等价于只需在（0，+∞）上的最大值小于a．（9分）
设（x＞0），由（Ⅰ）知，g（x）在x=e处取得最大值．
所以，即a的取值范围为．（13分）
点评：本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，以及综合运用上述知识分析问题和解决问题的能力．