题目内容

设函数f（x）=（x＞0且x≠1）.

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）已知2＞xa对任意x∈（0，1）成立，求实数a的取值范围.

（1）f(x)的单调增区间为（0, ），单调减区间为（,1）和（1，+∞）（2）a＞-eln2


解析:

  （1）f′(x)=-，若f′(x)=0,则x=.

列表如下：

x

（0，）

（，1）

（1，+）

+

0

-

-

f (x)

单调增

极大值f()

单调减

单调减

所以f(x)的单调增区间为（0, ），单调减区间为（,1）和（1，+∞）.

（2）在2＞xa两边取对数，得ln2＞alnx.

由于x∈(0,1)，所以＞.                                                                  ①

由（1）的结果知，

当x∈(0,1)时，f(x)≤f（）=-e.

为使①式对所有x∈(0,1)成立，当且仅当＞-e,即a＞-eln2.

练习册系列答案
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设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
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3
4
) ＜f(
15
2
)；
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2
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（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
设函数f（x）=x（x-1）2，x＞0．
（1）求f（x）的极值；
（2）设0＜a≤1，记f（x）在（0，a]上的最大值为F（a），求函数的最小值；
（3）设函数g（x）=lnx-2x2+4x+t（t为常数），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的实数m有且只有一个，求实数m和t的值．
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