Question

 [2012·重庆卷] 已知在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点．

(1)求异面直线CC₁和AB的距离；

(2)若AB₁⊥A₁C，求二面角A₁－CD－B₁的平面角的余弦值．

图1－3

Answer 1

解：(1)因AC＝BC，D为AB的中点，故CD⊥AB.

又直三棱柱中，CC₁⊥面ABC，故CC₁⊥CD，所以异面直线CC₁和AB的距离为CD＝＝.

(2)解法一：由CD⊥AB，CD⊥BB₁，故CD⊥面A₁ABB₁，从而CD⊥DA₁，CD⊥DB₁，故∠A₁DB₁为所求的二面角A₁－CD－B₁的平面角．

因A₁D是A₁C在面A₁ABB₁上的射影，又已知AB₁⊥A₁C，由三垂线定理的逆定理得AB₁⊥A₁D，从而∠A₁AB₁，∠A₁DA都与∠B₁AB互余，因此∠A₁AB₁＝∠A₁DA，所以Rt△A₁AD∽Rt△B₁A₁A，因此＝，得AA＝AD·A₁B₁＝8.

从而A₁D＝＝2，B₁D＝A₁D＝2，

所以在△A₁DB₁中，由余弦定理得

cos∠A₁DB₁＝＝.

解法二：如下图，过D作DD₁∥AA₁交A₁B₁于D₁，在直三棱柱中，由(1)知DB，DC，DD₁两两垂直，以D为原点，射线DB，DC，DD₁分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz.

设直三棱柱的高为h，则A(－2,0,0)，A₁(－2,0，h)，B₁(2,0，h)，C(0，，0)，从而＝(4,0，h)，＝(2，，－h)．

由⊥得·＝0，即8－h²＝0，因此h＝2.

图1－4

故＝(－2,0,2)，＝(2,0,2)，＝(0，，0)．

设平面A₁CD的法向量为m＝(x₁，y₁，z₁)，则m⊥，m⊥，即

取z₁＝1，得m＝(，0,1)．

设平面B₁CD的法向量为n＝(x₂，y₂，z₂)，则n⊥，n⊥，即

取z₂＝－1，得n＝(，0，－1)，所以

cos〈m，n〉＝＝＝.

所以二面角A₁－CD－B₁的平面角的余弦值为.