题目内容
已知a＞0，函数f（x）=
，x∈（0，+∞）．设0＜x1＜
，记曲线y=f（x）在点M（x1，f（x1））处的切线为l
（1）求l的方程；
（2）设l与x轴交点为（x2，0），求证：①0＜x2≤
； ②若0＜x1＜
，则x1＜x2＜2x1．
| 1-ax |
| x |
| 2 |
| a |
（1）求l的方程；
（2）设l与x轴交点为（x2，0），求证：①0＜x2≤
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
（1）依题知，得：f′（x）=-
，根据点斜式可得l的方程为y-
=-
(x-x1)，
整理得直线l的方程是
x+y-
=0．
（2）证明：由（1）得 x2=x1（2-ax1）
①由于 0＜x1＜
，所以ax1＜2，x2=x1（2-ax1）＞0
又x2-
=x1（2-ax1）-
=
=
≤0，所以，0＜x2≤
；
②因为 x2-x1=x1（2-ax1）-x1=x1-ax12=x1（1-ax1），且0＜x1＜
，，所以1-ax1＞0，即x1＜x2．
又x2-2x1=x1（2-ax1）-2x1=-ax12＜0，所以 x2＜2x1，
故当0＜x1＜
，则x1＜x2＜2x1．
| 1 |
| x2 |
| 1-ax1 |
| x1 |
| 1 | ||
|
整理得直线l的方程是
| 1 | ||
|
| 2-ax1 |
| x1 |
（2）证明：由（1）得 x2=x1（2-ax1）
①由于 0＜x1＜
| 2 |
| a |
又x2-
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
a2
| ||
| a |
| (ax1-1)2 |
| a |
| 1 |
| a |
②因为 x2-x1=x1（2-ax1）-x1=x1-ax12=x1（1-ax1），且0＜x1＜
| 1 |
| a |
又x2-2x1=x1（2-ax1）-2x1=-ax12＜0，所以 x2＜2x1，
故当0＜x1＜
| 1 |
| a |
练习册系列答案
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