Question

已知二次函数f(x)=ax²+bx+c，当－1≤x≤1时，有－1≤f(x)≤1。求证：当－2≤x≤2时，有－7≤f(x)≤7。

Answer 1

答案：
解析：

y=f(x)=ax2+bx+c，当－1≤x≤1时，限定－l≤f(x)≤1故|f(0)|≤1，|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1。     由         ∴|f(－2)|=|4a－2b－c|=|3f(－l)+f(1)－3f(0)|≤7，|f(2)|=|4a+2b+c|=|f(－1)+3f(1)－3f(0)|≤7，     ∴(1)当对称轴x=时，f(x)在[一2，2]上是单调函数，     ∴|f(x)|≤max{|f(－2)|，|f(2)|}，     ∴|f(x)|≤7。     (2)当对称轴x=∈[－2，2]时。     。     又|c|=|f(0)|≤1，     |b|=|f(1)－f(－1)|≤1，     ≤2，∴，     而|f(x)|≤max{|f(－2)|，|f(2)|，|f|}，∴|f(x)|≤7。