题目内容
设函数f(x)=
sinωx+
cosωx (ω＞0)，x∈R，且以
为最小正周期．
（Ⅰ）求f（x）的最大值，并求能使f（x）取得最大值时的x的集合．
（Ⅱ）已知f(
+
)=
，求sinα的值．
3
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| π |
| 2 |
（Ⅰ）求f（x）的最大值，并求能使f（x）取得最大值时的x的集合．
（Ⅱ）已知f(
| α |
| 4 |
| π |
| 12 |
| 9 |
| 5 |
分析：（I）首先用辅助角公式将f（x）整理为：f(x)=3sin(ωx+
)，利用正弦函数关于周期的公式可以算出ω=4．再用正弦函数的最值及相应最值点x取值的结论得：当4x+
=2kπ+
时，函数取到最大值3，并由此可得取最大值时x的集合．
（II）根据（I）的表达式，将x=
+
代入，结合正余弦的诱导公式得cosα=
，最后根据同角三角函数的平方关系得到sina的值．
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
（II）根据（I）的表达式，将x=
| α |
| 4 |
| π |
| 12 |
| 3 |
| 5 |
解答：解：（Ⅰ）整理得：f(x)=
sinωx+
cosωx =3(
sinωx+
cosωx)
而
sinωx+
cosωx=sinωxcos
+cosωxsin
=sin(ωx+
)
∴f(x)=3sin(ωx+
)
∵f（x）的周期为
，
∴
=
⇒ω=4．
故f（x）=3sin（4x+
）．…（4分）
当4x+
=2kπ+
，即x=
+
，（k∈Z）时，ymax=3．
此时x的集合为{x|x=
+
，k∈Z}．…（8分）
（Ⅱ）∵f（
+
）=3sin（α+
）=3cosα，
∴3cosα=
，即cosα=
．…（10分）
∴sinα=±
=±
．…（12分）
3
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
而
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
∴f(x)=3sin(ωx+
| π |
| 6 |
∵f（x）的周期为
| π |
| 2 |
∴
| 2π |
| ω |
| π |
| 2 |
故f（x）=3sin（4x+
| π |
| 6 |
当4x+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| kπ |
| 2 |
| π |
| 12 |
此时x的集合为{x|x=
| kπ |
| 2 |
| π |
| 12 |
（Ⅱ）∵f（
| α |
| 4 |
| π |
| 12 |
| π |
| 2 |
∴3cosα=
| 9 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
∴sinα=±
| 1-cos 2α |
| 4 |
| 5 |
点评：本题考查了三角函数中的恒等变换应用，着重考查了辅助角公式，三角函数的图象与性质和同角三角函数的关系等等，属于中档题．
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