Question

设函数f(x)=cos(2x+

π

3

)+sin2x．
（I）求f（x）的值域和最小正周期；
（II）设A、B、C为△ABC的三内角，它们的对边长分别为a、b、c，若cosC=

2 2

3

，A为锐角，且f(

A

2

)=-

1

4

，a+c=2+3

3

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（I）先对函数化简，f(x)=cos(2x+

π

3

)+sin2x=-

3

2

sin2x+

1

2

，再有三角函数的周期公式及性质求出函数的最值以及周期．
（II）由题条件求出sinC，sinA，再有正弦定理建立起两边a，c的一个方程与方程a+c=2+3

3

联立求出a，c的值，再由余弦定理求出b，由面积公式求面积即可．

解答：解：（I）f(x)=cos(2x+

π

3

)+sin2x=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+

1-cos2x

2

=-

3

2

sin2x+

1

2

，故函数的值域是[

1- 3

2

，

1+ 3

2

]，周期是π；
（II）∵cosC=

2 2

3

，∴sinC=

1

3

∵f(

A

2

)=-

1

4

，∴-

3

2

sinA+

1

2

=-

1

4

，解得sinA=

3

2

由正弦定理得

a

sinA

=

c

sinC

，即

a

3 2

=

c

1 3

，整理得a=

3 3

2

c代入a+c=2+3

3

解得c=2，a=3

3

sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

3

2

×

2 2

3

+

1

2

×

1

3

=

2 6 +1

6

∴S=

1

2

×a×c×sinB=

1

2

×2×3

3

×

2 6 +1

6

=3

2

+

3

2

点评：本题考查解三角形的实际应用以及三角恒等变换，求三角函数的周期及值域，求解本题的关键是对三角函数解析式的化简以及正弦定理构建方程求两边的长度，用正弦的和角公式求角B的正弦值．本题中涉及到的公式较多，体现了三角函数解题的特点，综合利用公式，灵活选择公式的能力在本章的综合题中显得尤其重要．