Question

【题目】如图，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起得到图（二），点为棱上的动点.

（1）求证：平面平面；

（2）若，二面角为，点为中点，求二面角余弦值的平方.

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）

【解析】

（1）根据，证得平面，从而证得平面平面.（2）以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，通过计算和的法向量，计算出二面角余弦值的平方.

证明：（1）在图（一）梯形中，

∵是的中点，，，

∴，.

∴四边形为平行四边形.

又∵，∴，

在图（二）中，∵，，平面，平面，

∴平面，

又∵平面，∴平面平面.

解：（2）由及条件关系，得，

由（1）的证明可知，，

∴为二面角的平面角，

∴，

由（1）的证明易知平面平面，且交线为，

∴在平面内过点作直线垂直于，

则平面，

∴，，两两相互垂直，

∴分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，

∵为中点，

∴，

，.

设平面的一个法向量，

则 ，

即，

令，则，，

∴，

而平面的一个法向量，

∴ ，

∴.