题目内容
已知函数f（x）=x3-mx2-x+1，其中m为实数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对一切的实数x，有f′（x）≥|x|-
成立，其中f′（x）为f（x）的导函数．求实数m的取值范围．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对一切的实数x，有f′（x）≥|x|-
| 7 | 4 |
分析：（1）由f′（x）=3x2-2mx-1，△=4m2+12＞0，知f′（x）=0有两个不相等的实数根：x1=
，x2=
，由此能求出f（x）的单调区间．
（2）由对一切的实数x，有f′（x）≥|x|-
成立，知3x2-2mx-1）≥|x|-
，由此进行分类讨论，能够求出实数m的取值范围．
m-
| ||
| 3 |
m+
| ||
| 3 |
（2）由对一切的实数x，有f′（x）≥|x|-
| 7 |
| 4 |
| 7 |
| 4 |
解答：解：（1）∵f′（x）=3x2-2mx-1，
△=4m2+12＞0，
∴f′（x）=0有两个不相等的实数根：x1=
，x2=
，x1＜x2．
当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，即f（x）单调递减；
当x＞x2或x＜x1时，f′（x）＞0，即f（x）单调递增．
综上所述，f（x）的单调递减区间为：[
，
]；
单调递增区间为：（-∞，
）、（
，+∞）．
（2）∵对一切的实数x，有f′（x）≥|x|-
成立，
∴3x2-2mx-1）≥|x|-
，
①当x＞0时，3x2-(2m+1)x+
≥0，
即3x+
≥2m+1在x＞0时恒成立，
因为3x+
≥2
=3，
当x=
时，等号成立，
所以3≥2m+1，即m≤1．
②当x＜0时，3|x|2+（2m-1）|x|+
≥0，
即3|x|+
≥1-2m在x＜0时，恒成立，
∵3|x|+
≥2
=3，
当x=-
时等号成立．
所以3≥1-2m，即m≥-1．…（11分）
③当x=0时，m∈R．…（12分）
综上所述，实数m的取值范围是[-1，1]．…（13分）
△=4m2+12＞0，
∴f′（x）=0有两个不相等的实数根：x1=
m-
| ||
| 3 |
m+
| ||
| 3 |
当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，即f（x）单调递减；
当x＞x2或x＜x1时，f′（x）＞0，即f（x）单调递增．
综上所述，f（x）的单调递减区间为：[
m-
| ||
| 3 |
m+
| ||
| 3 |
单调递增区间为：（-∞，
m-
| ||
| 3 |
m+
| ||
| 3 |
（2）∵对一切的实数x，有f′（x）≥|x|-
| 7 |
| 4 |
∴3x2-2mx-1）≥|x|-
| 7 |
| 4 |
①当x＞0时，3x2-(2m+1)x+
| 3 |
| 4 |
即3x+
| 3 |
| 4x |
因为3x+
| 3 |
| 4x |
3x•
|
当x=
| 1 |
| 2 |
所以3≥2m+1，即m≤1．
②当x＜0时，3|x|2+（2m-1）|x|+
| 3 |
| 4 |
即3|x|+
| 3 |
| 4|x| |
∵3|x|+
| 3 |
| 4|x| |
3|x|•
|
当x=-
| 1 |
| 2 |
所以3≥1-2m，即m≥-1．…（11分）
③当x=0时，m∈R．…（12分）
综上所述，实数m的取值范围是[-1，1]．…（13分）
点评：本题主要考查函数的性质、导数、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|