Question

已知命题p：

x2

m-1

+

y2

m-4

=1表示双曲线，命题q：

x2

m-2

+

y2

4-m

=1表示椭圆．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围．
（2）判断命题p为真命题是命题q为真命题的什么条件（请用简要过程说明是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中的哪一个）．

Answer 1

分析：（1）若命题p为真命题，根据双曲线的定义即可求实数m的取值范围．
（2）分别求出命题p，q成立的等价条件，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断 即可．

解答：解：（1）∵命题p：

x2

m-1

+

y2

m-4

=1表示双曲线为真命题，
则（m-1）（m-4）＜0，
∴1＜m＜4；                                                             
（2）∵命题q：

x2

m-2

+

y2

4-m

=1表示椭圆为真命题，
∴

m-2＞0 4-m＞0 m-2≠4-m

，
∴2＜m＜3或3＜m＜4，
∵{m|1＜m＜4}?{m|2＜m＜3或3＜m＜4}
∴p是q的必要不充分条件．

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，要求熟练掌握双曲线和椭圆的方程，比较基础．