Question

【题目】如图所示，直棱柱的底面是边长为4的菱形，且，侧棱长为6， ，点分别是线段的中点.

（1）证明： 平面；

（2）求二面角.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）第（1）问，先证明 ,再证明平面 .(2)第（2）问，一般利用向量法求二面角的平面角的余弦值.

试题解析：

(1)由题知， ，

为的中点，∴，∴，

又∵侧棱与底面垂直,

∴平面平面，且交线为，

∴平面

又平面，∴ ，

又∵， 为d 中点，∴，

又∵，

∴平面.

(2)由题及（1）的证明可知两两垂直，以为原点，分别以为轴的正半轴建立空间直角坐标系（如图所示），

则

∵分别为的中点，

∴.

∴，

设平面的一个法向量为，

则，即，

取，得，

由（1）的证明可知为平面的一个法向量，

设二面角为，则易知为锐角，

则有.

∴二面角的余弦值为.