Question

已知函数f（x）满足f（x）=x³+f′（）x²-x+C [其中f′（）为f（x）在点x=处的导数，C为常数]。
（1）求f′（）的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）设函数g（x）=[f（x）-x³]e^x，若函数g（x）在x∈[-3，2]上单调，求实数C的取值范围。

Answer 1

解：（1）由得

取得

解之得。
（2）因为
从而
列表如下：

∴f（x）的单调递增区间是和（1，+∞），
f（x）的单调递减区间是.
（3）函数
有
当函数在区间x∈[-3，2]上单调递增时，等价于h（x）= -x²-3x+C-1≥0在x∈[-3，2]上恒成立，
只要h（2）≥0，解得 C≥11
当函数在区间x∈[ -3，2]上单调递减时，等价于h（x）= -x²-3x+C-1≤0在x∈[-3，2]上恒成立，
即Δ=9+4（C-1）≤ 0，解得
所以C的取值范围是C≥11或。