Question

8．已知椭圆C的中心在原点，焦点在y轴上，椭圆的上、下焦点分别为F₁、F₂，且椭圆的上焦点到直线x+$\sqrt{3}$y+1=0的距离等于椭圆的长半轴长，且直线l过椭圆的左顶点．求椭圆C的方程．

Answer 1

分析 设椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），求得上焦点和左顶点，由点到直线的距离公式和椭圆的a，b，c的关系，计算即可得到a，b，进而得到椭圆方程．

解答 解：设椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
上焦点为（0，c），左顶点为（-b，0），
由题意可得$\frac{|\sqrt{3}c+1|}{\sqrt{1+3}}$=a，
且-b+1=0，又a²-b²=c²，
解方程可得b=1，c=$\sqrt{3}$，a=2．
即有椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的性质，点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．