Question

11．已知函数f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{6}$）．
（1）求函数的对称中心；
（2）求函数在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域；
（3）解不等式f（x）≥1．

Answer 1

分析 （1）由条件利用余弦函数的图象的对称性，求出函数的图象的对称中心．
（2）由条件利用余弦函数的定义域和值域，求得f（x）的值域．
（3）由不等式可得cos（2x+$\frac{π}{6}$ ）≥$\frac{1}{2}$，由此解三角不等式，求得x的范围．

解答 解：（1）对函数f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{6}$），令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，
可得函数的图象的对称中心为（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，0）．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，∴cos（2x+$\frac{π}{6}$ ）∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
∴f（x）∈[-2，$\sqrt{3}$]．
（3）不等式f（x）≥1，即 cos（2x+$\frac{π}{6}$ ）≥$\frac{1}{2}$，2kπ-$\frac{π}{3}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{3}$，即kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，
可得不等式的解集为{x|kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z}．

点评 本题主要考查余弦函数的图象的对称性、定义域和值域，解三角不等式，属于中档题．