Question

选修4-4；坐标系与参数方程
已知点P（1+cosα，sinα），参数α∈[0，π]，点Q在曲线C：ρ=

10

2 Sin(θ- π 4 )

上．
（1）求点P的轨迹方程和曲线的直角坐标方程：
（2）求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析：（1）设点P的坐标为（x，y），则有

x = 1+cosα y=sinα

，消去参数α，得到点P的轨迹方程．曲线C 的极坐标方程即
10=

2

ρ（

2

2

sinθ-

2

2

cosθ），依据x=ρcosθ，y=ρsinθ，化为直角坐标方程．
（2）如图，由题意可得点Q在直线x-y+10=0 上，点P在半圆上，求出半圆的圆心C到直线的距离，将此距离减去半径1，
即为所求．

解答：解：（1）设点P的坐标为（x，y），则有

x = 1+cosα y=sinα

，消去参数α，可得：（x-1）²+y²=1．
由于α∈[0，π]，∴y≥0，故点P的轨迹是上半圆：（x-1）²+y²=1（y≥0）．
∵曲线C：ρ=

10

2 Sin(θ- π 4 )

，即 10=

2

ρ（

2

2

sinθ-

2

2

cosθ），
即 ρsinθ-ρcosθ=10，故曲线C的直角坐标方程：x-y+10=0．
（2）如图所示：由题意可得点Q在直线x-y+10=0 上，点P在半圆上，
半圆的圆心C（1，0）到直线x-y+10=0的距离等于

|1-0+10|

2

=

11 2

2

．
即|PQ|的最小值为

11 2

2

-1．

点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．