Question

已知{a_n}是递减等比数列，a₂=2，a₁+a₃=5，则a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1（n∈N^*）的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先设a_n=a₁q^n-1，把a₂=2，a₁+a₃=5两式相除可求得q，根据a₂=2进而可求得a₁再根据数列{a_na_n+1}为以q²为公比，2为首项等比数列，根据等比数列的求和公式可得a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=

32[1-( 1 2 )2n]

3

，进而答案可得．

解答：解：设a_n=a₁q^n-1，
∴a₂=a₁q=2①，a₁+a₃=a₁（1+q²）=5②
①÷②得

q

1+q2

=

2

5

，解得q=2或

1

2

∵{a_n}是递减等比数列，
∴q＜1
∴q=

1

2

③
把③代入①得a₁=4
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=a₂¹q+a₂¹q³+…+a₂¹q²ⁿ=

a

1 2

[

q(1-q2n)

1-q2

]=

32[1-( 1 2 )2n]

3

∈[8，

32

3

)
故答案为：[8，

32

3

)

点评：本题主要考查了等比数列的性质．因等比数列的通项公式中有qⁿ的形式，与指数函数关系密切，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列．