Question

抛物线y²=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为

3

的直线与抛物线在x轴上方部分相交于点A，则AF=

4

．

Answer 1

分析：过点A作AB⊥l于点B，作AP⊥x轴于点P．设A（m，n），可得|AF|=|AB|=m+1且|PF|=m-1，Rt△APF中求出∠AFP=60°，利用解直角三角形建立关于m的方程解出m=3，即可得到AF的长．

解答：解：抛物线y²=4x的焦点为F（1，0），准线为l：x=-1．
过点A作AB⊥l于点B，作AP⊥x轴于点P，
∵AF的斜率为

3

，∴AF的倾斜角∠AFP=60°，
可得Rt△APF中，|PF|=|AF|cos∠AFP=

1

2

|AF|，
设A（m，n），由抛物线的定义得|AF|=|AB|=m+1，
∴|PF|=m-1=

1

2

|AF|，即m-1=

1

2

（m+1），解之得m=4，
由此可得|AF|=m+1=4
故答案为：4

点评：本题给出抛物线的一条焦半径的倾斜角等于60°，求它的长度．着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、解直角三角形等知识，属于中档题．