Question

【题目】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M为平面上任一点，A，B，C三点满足

．

（1）求的值；

（2）已知A(1,sinx)、B(1+sinx,sinx)，M(1+sinx,sinx)，x∈(0,π)，且函数

的最小值为，求实数m的值．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）

【解析】分析：(1) 先化简得,即得,进而得结果， (2)根据向量数量积以及向量的模化简函数解析式得f（x）=sin2x+2msinx+1，再根据对称轴与定义区间位置关系讨论最小值取法，最后根据最小值求m值.

详解：（1）解：由=+，得﹣=2（﹣），

∴=2，且、有公共点C，

∴A，B，C三点共线，如图所示；∴===3；

（2）A（1，sinx）、B（1+sinx，sinx），M（1+sinx，sinx），x∈（0，π），

∴=（1，sinx）=（1+sinxsinx）=（sinx0）

∴函数f（x）=+（2m﹣）||

=（1+sinx）+sin2x+（2m﹣）sinx

=sin2x+2msinx+1；

设sinx=t，∵x∈（0，π），∴t∈（0，1），

∴y=t2+2mt+1=（t+m）2+1﹣m2；

讨论﹣m＜0即m＞0时，此时y没有最小值；

当0≤﹣m≤1即﹣1≤m≤0时，当t=﹣m有ymin=1﹣m2=，

解得m=﹣；

当﹣m＞1即m＜﹣1时，此时y没有最小值；

综上，得m=﹣．