Question

设f(x)=cos2x+

3

sin2x+m(x∈R，m为常数)，
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最小值为4，求m的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中f(x)=cos2x+

3

sin2x+m(x∈R，m为常数)，利用辅助角公式，我们易将函数解析式化为正弦型函数的形式，求出ω值后，代入T=

2π

ω

，即可求出（x）的最小正周期；
（2）由已知中x∈[0，

π

2

]，根据正弦型函数的性质，我们易求出当x=

1

2

π时，f（x）取最小值4，由此易构造一个关于m的方程，解方程即可求出m的值．

解答：（1）∵f(x)=cos2x+

3

sin2x+m(x∈R，m为常数)，
∴f(x)=2sin(2x+

π

6

)+m
即ω=2
所以T=π．（5分）
（2）∵x∈[0，

π

2

]∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7

6

π]，
∴x=

1

2

π时，f（x）_min=2sin(π+

π

6

)+m=-1+m=4，
∴m=5（5分）

点评：本题考查的知识点是三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值，其中利用辅助角公式，将函数的解析式化为正弦型函数的形式是解答的关键．