Question

5．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x²-4x，
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在区间[t，t+1]，（t≥0）上的最小值g（t）的最小值；
（Ⅲ）求不等式f（x+2）＜5的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可设x＜0，便有-x＞0，从而可以得到f（-x）=x²+4x=f（x），这样写出f（x）的解析式即可；
（Ⅱ）根据t≥0，从而可以得出f（x）在区间[t，t+1]上对应的解析式f（x）=x²-4x，对称轴为x=2，从而可以讨论t：分t+1≤2，t＜2＜t+1，和t≥2，然后根据f（x）的单调性或取得顶点的情况，便可得出f（x）在区间[t，t+1]上的最小值g（t），然后通过配方求二次函数最值的方法即可得出g（t）的最小值；
（Ⅲ）可讨论x，从而找到f（x+2）对应的解析式：x+2≥0时，便可得到x²-4＜5；而x+2＜0，会得到（x+4）²-4＜5，这样便可通过解一元二次不等式即可得出每种情况下x的范围，求并集即可得出原不等式的解集．

解答 解：（Ⅰ）根据f（x）为偶函数，设x＜0，-x＞0，则：
f（-x）=x²+4x=f（x）；
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x}&{x≥0}\\{{x}^{2}+4x}&{x＜0}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）x∈[t，t+1]，t≥0；
∴f（x）=x²-4x；
①t+1≤2，即t≤1时，f（x）在[t，t+1]上单调递减；
∴g（t）=f（t+1）=t²-2t-3；
②t＜2＜t+1，即1＜t＜2时，g（t）=f（2）=-4；
③t≥2时，f（x）在[t，t+1]上单调递增；
∴g（t）=f（t）=t²-4t；
∴$g（t）=\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-2t-3}&{t≤1}\\{-4}&{1＜t＜2}\\{{t}^{2}-4t}&{t≥2}\end{array}\right.$；
1）t≤1时，g（t）=（t-1）²-4≥-4；
2）1＜t＜2时，g（t）=-4；
3）t≥2时，g（t）=（t-2）²-4≥-4；
∴g（t）的最小值为-4；
（Ⅲ）①若x+2≥0，即x≥-2，f（x+2）=x²-4；
∴解x²-4＜5得，-3＜x＜3；
∴-2≤x＜3；
②若x+2＜0，即x＜-2，f（x+2）=（x+4）²-4；
∴解（x+4）²-4＜5得，-7＜x＜-1；
∴-7＜x＜-2；
综上得原不等式的解集为（-7，3）．

点评 考查偶函数的定义，对于偶函数已知一区间上的解析式，求对称区间上的解析式的方法，二次函数的单调性及对称轴，根据单调性求函数的最值，求分段函数最值的方法，以及解一元二次不等式．