Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中， P是侧棱CC₁上的一点，CP=m。

（1） 试确定m，使得直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为；
（2） 在线段A₁C₁上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP。并证明你的结论。

Answer 1

解：（1）连AC，设AC与BD相交于点O，AP与平面BDD1B1相交于点G， 连结OG，因为 PC∥平面，平面BDD1B1∩平面APC=OG，  故OG∥PC，所以，OG=PC=，  又AO⊥BD，AO⊥BB1， 所以AO⊥平面， 故∠AGO是AP与平面所成的角。 在Rt△AOG中，tan∠AGO=， 即m=， 所以当m=时，直线AP与平面所成的角的正切值为。
（2）可以推测，点Q应当是A1C1的中点O1， 因为 D1O1⊥A1C1，且 D1O1⊥A1A ， 所以 D1O1⊥平面ACC1A1， 又AP平面ACC1A1， 故 D1O1⊥AP， 那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直。