Question

【题目】已知函数，．

（1）若，，求实数的值．

（2）若，，求正实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）0（2）

【解析】

（1）求得和，由，，得，令，令导数求得函数的单调性，利用，即可求解．

（2）解法一：令，利用导数求得的单调性，转化为，令（），利用导数得到的单调性，分类讨论，即可求解．

解法二：可利用导数，先证明不等式，，，，

令（），利用导数，分类讨论得出函数的单调性与最值，即可求解．

（1）由题意，得，，

由，…①，得，

令，则，

因为，所以在单调递增，

又，所以当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以，当且仅当时等号成立．

故方程①有且仅有唯一解，实数的值为0．

（2）解法一：令（），

则，

所以当时，，单调递增;

当时，，单调递减;

故

．

令（），

则．

（i）若时，，在单调递增，

所以，满足题意．

（ii）若时，，满足题意．

（iii）若时，，在单调递减，

所以．不满足题意．

综上述：．

解法二：先证明不等式，，，…（*）．

令，

则当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以，即．

变形得，，所以时，，

所以当时，.

又由上式得，当时，，，.

因此不等式（*）均成立．

令（），

则，

（i）若时，当时，，单调递增;

当时，，单调递减;

故

．

（ii）若时，，在单调递增，

所以 ．

因此，①当时，此时，，，

则需

由（*）知，，（当且仅当时等号成立），所以．

②当时，此时，，

则当时，

（由（*）知）；

当时，（由（*）知）．故对于任意，．

综上述：．