Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁，C₁，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A₁C₁D₁，这个几何体的体积为

40

3

．
（1）求棱A₁A的长；
（2）求经过A₁，C₁，B，D四点的球的表面积．

Answer 1

分析：（1）设A₁A=h，已知几何体ABCD-A₁C₁D₁的体积为

40

3

，利用等体积法VABCD-A₁C₁D₁=VABCD-A₁B₁C₁D₁-VB-A₁B₁C₁，进行求解．
（2）连接D₁B，设D₁B的中点为O，连OA₁，OC₁，OD，利用公式S_球=4π×（OD₁）²，进行求解．

解答：解：（1）设A₁A=h，∵几何体ABCD-A₁C₁D₁的体积为

40

3

，
∴VABCD-A₁C₁D₁=VABCD-A₁B₁C₁D₁-VB-A₁B₁C₁=

40

3

，
即S_ABCD×h-

1

3

×S△A₁B₁C₁×h=

40

3

，
即2×2×h-

1

3

×

1

2

×2×2×h=

40

3

，解得h=4．
∴A₁A的长为4．
（2）如图，连接D₁B，设D₁B的中点为O，连OA₁，OC₁，OD．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，∴A₁D₁⊥平面A₁AB．
∵A₁B?平面A₁AB，∴A₁D₁⊥A₁B．
∴OA₁=

1

2

D₁B．同理OD=OC₁=

1

2

D₁B．
∴OA₁=OD=OC₁=OB．
∴经过A₁，C₁，B，D四点的球的球心为点O．
∵D₁B²=A₁D₁²+A₁A²+AB²=2²+4²+2²=24．
∴S_球=4π×（OD₁）²=4π×（

D1B

2

）²=π×D₁B²=24π．
故经过A₁，C₁，B，D四点的球的表面积为24π．

点评：本题主要考查空间线面的位置关系，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力，同时考查学生灵活利用图形，借助向量工具解决问题的能力，考查数形结合思想．