Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设a_n=2ⁿb_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为给出了数列{a_n}的前n项和S_n=n²，所以可用n≥2时，an=sn-sn-1来求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的数列{a_n}的通项公式代入a_n=2ⁿb_n，求出数列{b_n}的通项公式，再利用错位相减法求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=1，当n＞1时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，当n=1时a₁=S₁=1
∴a_n=2n-1．
（Ⅱ）由an=2nbn=2n-1，得bn=

2n-1

2n

，Tn=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，①2Tn=1+

3

2

+

5

22

+…+

2n-1

2n-1

，②
②-①，得Tn=1+1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2

-

2n-1

2n

=3-

2n+3

2n

．

点评：本题主要考查数列通项公式与前n项和之间的关系，以及错位相减法求和．