题目内容
PA、PB、PC两两垂直；②P到△ABC三边的距离相等；③PA⊥BC，PB⊥AC；④PA、PB、PC与平面ABC所成的角相等；⑤平面PBC、PAB、PAC与平面ABC所成的锐二面角相等；⑥PA=PB=PC；⑦∠PAB=∠PAC，∠PBA=∠PBC，∠PCB=∠PCA；⑧AC⊥面PBO，AB⊥面PCO．若在上述8个序号中任意取出两个作为条件，其中一个一定能得出O为△ABC的垂心、另一个一定能得出O为△ABC的外心的概率为（ ）A．
B．
C．
D．
【答案】分析：先跟据条件判断出八个命题中得出垂心的有三个，外心的有两个，内心的有三个，再代入等可能时间的概率计算公式即可得到答案．
解答：解：对于①
由PA⊥PB，PA⊥PC⇒PA⊥平面PBC⇒PA⊥BC，
又PO⊥BC，⇒BC⊥平面PAO⇒BC⊥AO⇒O在BC边的高线上；
同理：O在AC边的高线上，
所以O为垂心．
对于②：因为：PE=PF=PD⇒OD=OE=OF⇒O为三角形的内心．
对于③：因为：PA⊥BC，PO⊥BC，⇒BC⊥平面PAO⇒BC⊥AO，O在BC边的高线上；
同理：O在AC边的高线上，
所以O为垂心．
对于④：因为：∠PAO=∠PBO=∠PCO⇒AO=BO=CO⇒O为三角形的外心．
对于⑤：∠PEO=∠PFO=∠PDO⇒OD=OE=OF⇒O为三角形的内心．
对于⑥：PA=PB=PC⇒AO=BO=CO⇒O为三角形的外心．
对于⑦：∠PAB=∠PAC⇒点P的射影在∠CAB的角平分线上；同理P的射影也在∠ABC的角平分线上；所以：O为三角形的内心．
对于⑧：AC⊥面PBO⇒AC⊥PO，O在AC边的高线上，同理：O在BA边的高线上；所以O为垂心．
即可以得出垂心的有三个，外心的有两个．
所以：在上述8个序号中任意取出两个作为条件，其中一个一定能得出O为△ABC的垂心、另一个一定能得出O为△ABC的外心的概率P=
=
．
故选：A．
点评：本题是对立体几何知识以及三角形五心，等可能时间概率的计算等知识的综合考察．解决问题的关键在于得到八个命题中得出垂心的有三个，外心的有两个，内心的有三个．
解答：解：对于①
由PA⊥PB，PA⊥PC⇒PA⊥平面PBC⇒PA⊥BC，
又PO⊥BC，⇒BC⊥平面PAO⇒BC⊥AO⇒O在BC边的高线上；
同理：O在AC边的高线上，
所以O为垂心．
对于②：因为：PE=PF=PD⇒OD=OE=OF⇒O为三角形的内心．
对于③：因为：PA⊥BC，PO⊥BC，⇒BC⊥平面PAO⇒BC⊥AO，O在BC边的高线上；
同理：O在AC边的高线上，
所以O为垂心．
对于④：因为：∠PAO=∠PBO=∠PCO⇒AO=BO=CO⇒O为三角形的外心．
对于⑤：∠PEO=∠PFO=∠PDO⇒OD=OE=OF⇒O为三角形的内心．
对于⑥：PA=PB=PC⇒AO=BO=CO⇒O为三角形的外心．
对于⑦：∠PAB=∠PAC⇒点P的射影在∠CAB的角平分线上；同理P的射影也在∠ABC的角平分线上；所以：O为三角形的内心．
对于⑧：AC⊥面PBO⇒AC⊥PO，O在AC边的高线上，同理：O在BA边的高线上；所以O为垂心．
即可以得出垂心的有三个，外心的有两个．
所以：在上述8个序号中任意取出两个作为条件，其中一个一定能得出O为△ABC的垂心、另一个一定能得出O为△ABC的外心的概率P=
=．故选：A．
点评：本题是对立体几何知识以及三角形五心，等可能时间概率的计算等知识的综合考察．解决问题的关键在于得到八个命题中得出垂心的有三个，外心的有两个，内心的有三个．
练习册系列答案
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