Question

已知数列{a_n}的前项和为S_n，点（a_n+2，S_n+1）在直线y=4x-5上，其中n∈N，令b_n=a_n+1-2a_n，且a₁=1．
（1）求证数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）先根据已知条件得到S_n+1=4（a_n+2）-5=4a_n+3； 进而得到S_n=4a_n-1+3；另个等式相结合即可得到数列{a_n-2a_n-1}是以2为首相，2为公比的等比数列，即数列{b_n}是等比数列；
（2）先求出数列{nb_n}的通项公式，再利用错位相减法求数列{nb_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）因为点（a_n+2，S_n+1）在直线y=4x-5上；
∴S_n+1=4（a_n+2）-5=4a_n+3；  ①
s₂=4a₁+3=a₁+a₂⇒a₂=6；
∴S_n=4a_n-1+3；②
∴①-②：a_n+1=4a_n-4a_n-1；
∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）；
数列{a_n-2a_n-1}是以2为首相，2为公比的等比数列；
即数列{b_n}是等比数列；
所以：b_n=a_n+1-2a_n=2ⁿ⁺¹；
（2）∵nb_n=n•2ⁿ⁺¹；
∴T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹；③
∴2T_n=1×2³+2×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²；④
③-④：-T_n=1×2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²=

22(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺²=4+（1-n）•2ⁿ⁺²；
∴Tn=4+(n-1)•2n+2．

点评：本题主要考查数列通项公式与前n项和之间的关系，以及错位相减法求和．