Question

在△ABC中，已知∠A=120°，AB=AC=2，D是BC边的中点，若P是线段AD上任意一点，则

PA

•

PB

+

PA

•

PC

的最小值为

 

．

Answer 1

分析：通过解直角三角形求出边BC，建立直角坐标系，写出各点的坐标，求出三个向量的坐标，利用向量的数量积公式求出

PA

•

PB

+

PA

•

PC

，利用二次函数的对称轴公式求出对称轴，求出二次函数的最小值．

解答：解：∵∠A=120°，AB=AC=2，
∴BC=2×2sin60°=2

3

以DA为y轴，以BC为x轴，建立直角坐标系则
B（-

3

，0），C（

3

，0)  A（0，1）
设P（0，y）
所以

PA

=(0，1-y)， 

PB

=(-

3

，-y) 

PC

=(

3

，-y）
所以

PA

•

PB

+

PA

•

PC

=2y2-2y（0≤y≤1）
对称轴为y=

1

2

所以当y=

1

2

时，最小值为-

1

2

故答案为：-

1

2

点评：本题考查通过建立直角坐标系转化为坐标形式的向量问题、考查向量坐标的求法、考查向量的数量积公式、考查二次函数的最值的求法．