Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中E为AB的中点．
（1）求直线A₁C₁与平面A₁B₁CD所成角大小；
（2）试确定直线BC₁与平面EB₁D的位置关系，并证明你的结论；
（3）证明：平面EB₁D⊥平面B₁CD．

Answer 1

分析：（1）根据正方体的结构特征，我们可得BC₁⊥平面A₁C，进而∠C₁A₁H是直线A₁C₁与平面A₁B₁CD所成角，解三角形C₁A₁H即可得到直线A₁C₁与平面A₁B₁CD所成角大小；
（2）取DB₁的中点O，由三角形中位线定理及正方体的几何特征，可得四边形OHBE是平行四边形，进而BH∥EO，由线面平行的判定定理可得EO∥平面EB₁D，即BC₁∥平面EB₁D
（3）结合（1），（2）中BC₁⊥平面A₁C，BH∥EO，由线面垂直的第二判定定理可得EO⊥平面B₁CD，再由面面垂直的判定定理可得平面EB₁D⊥平面B₁CD．

解答：解：（1）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中
A₁B₁⊥平面BC₁
∴A₁B₁⊥BC₁
又∵B₁C⊥BC₁
∴BC₁⊥平面A₁C
设B₁C∩BC₁=H，
则∠C₁A₁H是直线A₁C₁与平面A₁B₁CD所成角
又∵A₁C₁=

2

a，C1H=

2

2

a
∴sin∠C₁A₁H=

1

2

∴∠C₁A₁H=30°
（2）直线BC₁∥平面EB₁D，理由如下：
取DB₁的中点O，则OH∥DC∥AB，OH=EB
∴四边形OHBE是平行四边形
∴BH∥EO
∴EO∥平面EB₁D，
∴BC₁∥平面EB₁D
证明：（3）∵BC₁⊥平面A₁C，BH∥EO
∴EO⊥平面B₁CD
∵EO?平面EB₁D
平面EB₁D⊥平面B₁CD

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，平面与平面垂直的判定，直线与平面垂直的判定，熟练掌握正方体的几何特征，为证明线面垂直及线面平行准备条件，是解答本题的关键．