题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ ，f（2）= $数学公式$ ，f′（2）=4，g（2）=1，g′（2）=3
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）当a=1时，函数h（x）= $数学公式$ 在点（2，h（2））处的切线能否与函数f（x）的图象相切？请说明理由．

解：（1）∵f^′（2）=4，f^′（x）=x²+2ax+b，∴2²+4a+b=4，解得b=-4a，
∴f^′（x）=x²+2ax-4a，△=4a²+16a=4（a²+4a）．
当△＞0时，即a＞0或a＜-4时，x_1，2= $\text{[math]}$ ，函数f（x）的单调增区间： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
当△≤0时，即-4≤a≤4时，f^′（x）≥0，函数f（x）的单调增区间：（-∞，+∞）．
（2）∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1，即切点为（2，1）．
由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ =1，
所以，曲线h（x）在点（2，1）处的切线方程y=x-1．
当a=1时，b=-4．
由 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，得c=2，
∴f（x）= $\text{[math]}$ ，f^′（x）=x²+2x-4．
当f^′（x）=x²+2x-4=1，x²+2x-5=0，∴ $\text{[math]}$ ．
当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．
而 $\text{[math]}$ ，y=x-1=-2 $\text{[math]}$ ．
所以函数 $\text{[math]}$ 在点（2，h（2））处的切线不能与函数f（x）图象相切．
分析：（1）利用f^′（2）=4即可得到b=-4a，进而得到f^′（x）=x²+2ax-4a，通过对其△与0 的关系分类讨论即可得出单调性；
（2）利用导数的几何意义即可得出切线的方程；再求出切点坐标，比较函数值即可．
点评：本题综合考查了导数的几何意义和利用导数研究函数的单调性、“三个二次”的关系、切线方程等基础知识与方法．