Question

已知平面区域

x≥0 y≥0 x+2y-4≤0

恰好被面积最小的圆C：（x-a）²+（y-b）²=r²及其内部所覆盖．
（1）试求圆C的方程．
（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B满足CA⊥CB，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）根据题意可知平面区域表示的是三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，进而可推断出覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，进而求得圆心和半径，则圆的方程可得．
（2）设直线l的方程是：y=x+b．根据CA⊥CB，可知圆心C到直线l的距离，进而求得b，则直线方程可得．

解答：解：（1）由题意知此平面区域表示的是以
O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，
且△OPQ是直角三角形，
所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是（2，1），半径是

5

，
所以圆C的方程是（x-2）²+（y-1）²=5．
（2）设直线l的方程是：y=x+b．
因为

CA

⊥

CB

，所以圆心C到直线l的距离是

10

2

，
即

|2-1+b|

12+12

=

10

2

解得：b=-1±

5

．
所以直线l的方程是：y=x-1±

5

．

点评：本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了数形结合的思想，转化和化归的思想．