Question

在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆左、右顶点分别为A、B，椭圆C的右焦点为F，
过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S，若线段RS的长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设Q（t，m）是直线x=9上的点，直线QA、QB与椭圆C分别交于点M、N，求证：直线MN必过x轴上的一定点，并求出此定点的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意，椭圆过点，故，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设Q（9，m），直线QA的方程为y=，代入椭圆方程，得（80+m²）x²+6x+9m²-720=0，由此入手能够证明直线MN必过x轴上的定点（1，0）．
解答：解：（1）依题意，椭圆过点，
故，
解得．…（3分）
椭圆C的方程为．…（4分）
（2）设Q（9，m），直线QA的方程为y=，…（5分）
代入椭圆方程，得（80+m²）x²+6x+9m²-720=0，…（6分）
设M（x₁，y₁），则，…（7分）
，
故点M的坐标为．…（8分）
同理，直线QB的方程为，
代入椭圆方程，得（20+m²）x²-6x+9m²-180=0，
设N（x₂，y₂），
则，
．
得点N的坐标为．…（10分）
①若时，
直线MN的方程为x=1，与x轴交于（1，0）点；
②若m²≠40，直线MN的方程为，
令y=0，解得x=1．
综上所述，直线MN必过x轴上的定点（1，0）．…（12分）
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线必过某定点的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与椭圆位置关系的灵活运用．