题目内容

设向量
α
=（
3
sin2x，sinx+cosx），
β
=（1，sinx-cosx），其中x∈R，函数f（x）=
α
•
β
．（1）求f（x） 的最小正周期；
（2）若f（θ）=
3
，其中0＜θ＜
π
2
，求cos（θ+
π
6
）的值．
分析：（1）利用向量的数量积、倍角公式、两角和差的正弦余弦公式、周期公式即可得出；
（2）利用（1）的结论即可得出sin(2θ-
π
6
)=
3
2
．再利用正弦函数的单调性和θ的取值范围、两角和的余弦公式即可得出．
解答：解：（1）∵f（x）=
α
•
β
=
3
sin2x+(sinx+cosx)(sinx-cosx)
=
3
sin2x-cos2x
=2(
3
2
sin2x-
1
2
cos2x)
=2sin(2x-
π
6
)，
∴T=
2π
2
=π．即f （x） 的最小正周期为π．
（2）∵f （θ）=
3
，∴2sin(2θ-
π
6
)=
3
，∴sin(2θ-
π
6
)=
3
2
．
∵0＜θ＜
π
2
，∴-
π
6
＜2θ-
π
6
＜
5π
6
，∴2θ-
π
6
=
π
3
或
2π
3
．
解得θ=
π
4
或
5π
12
．
∴当θ=
π
4
时，cos(θ+
π
6
)=cos(
π
4
+
π
6
)=cos
π
4
cos
π
6
-sin
π
4
sin
π
6
=
6
-
2
4
；
当θ=
5π
12
时，cos(θ+
π
6
)=cos
7π
12
=-cos
5π
12
=
2
-
6
4
．
点评：熟练掌握三角函数的单调性、倍角公式、两角和差的正弦余弦公式、周期公式、向量的数量积是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
设向量
m
=（
3
sin 2x，sin x+cos x），
n
=（1，sin x-cos x），其中x∈R，函数f(x)=
m
•
n
． 
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）若f（θ）=
3
，其中0＜θ＜
π
2
，求θ的值．
设向量
a
=（cos（α+β），sin（α-β）），
b
=（cos（α-β），sin（α+β）），且
a
+
b
=(
4
5
，
3
5
)
（1）求tanα；
（2）求
2cos2
α
2
-3sinα-1
2
sin(α+
π
4
)
的值．
（2013•许昌三模）设向量
a
=（
3
sinθ+cosθ+1，1），
b
=（1，1），θ∈[
π
3
，
2π
3
]，m是向量
a
 在向量
b
向上的投影，则m的最大值是（　　）
已知向量
a
=（
3
sinωx，cosωx），
b
=（cosωx，3cosωx），ω＞0，设f（x）=
a
•
b
，且f（x）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）函数f（x）的图象可由函数y=sin2x经过怎样的变换得到．
设向量
a
=（
3
sinθ+cosθ+1，1），
b
=（1，1），θ∈[
π
3
，
2π
3
]，m是向量
a
 在向量
b
向上的投影，则m的最大值是（　　）
A．
3
2
2
B．4C．2
2
D．3

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