题目内容
已知f(x)=-ax+x3，x∈R.(1)当x=1时，f(x)取得极值，证明：对任意x1、x2
(-1，1)，不等式|f(x1)-f(x2)|＜4恒成立；
(2)若f(x)是上的单调函数，求实数a的取值范围；
(3)在(2)的条件下，若当x0≥1，f(x0)≥1，有f=[f(x0)]=x0，求证：f(x0)=x0.
(1)证明：∵(x)=3x2-a,由于x=1是y=f(x)的一个极值点.
∴
(1)=3-a=0,∴a=3.
∴
(x)=3x2-a,f(x)=x3-3x.
当-1≤x≤1时,
(x)=3(x+1)(x-1)≤0
∴f(x)在[-1,1]上是减函数
当-1≤x≤1时，f(x)min=f(1)=-2.
f(x)max=f(-1)=2
∴对任意x1、x2∈[-1,1],
|f(x1)-f(x2)|＜|f(x)max-f(x)min|=2-(-2)=4.
(2)解:∵
(x)=3x2-a 若f(x)在
上是减函数.
则3x2-a≤0在
上恒成立
即a≥3x2在
上恒成立
∵当x≥1时，不存在常数a使得a≥3x2在
上恒成立 ∴a不存在
若f(x)在
上是增函数
则3x2-a≥0在
上恒成立
即a≤3x2在
上恒成立
∵x∈
时，(3x2)min=3.
∴a≤3符合题意
∴所求实数a的取值范围为
.
(3)证明：若f(x0)＞x0≥1,由(2)得f[f(x0)]＞f(x0)
∵f[f(x0)]=x0,这时有x0＞f(x0),与假设矛盾.
若x0＞f(x0)≥1,则f(x0)＞f[f(x0)]
∵f[f(x0)]=x0,这时有f(x0)＞x0,与假设矛盾.
∴f(x0)=x0.
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