Question

10．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC₁的中点．
（1）证明：AE⊥平面BCC₁B₁；
（2）若AA₁=$\sqrt{2}$，求三棱锥C-AEF的高．

Answer 1

分析 （1）首先证明AE⊥BB₁，AE⊥BC，得到AE⊥平面BCC₁B₁；
（2）设三棱锥C-AEF的高为h，由V_C-AEF=$\frac{1}{3}$S_△ACE×CF=$\frac{1}{3}×$S_△AEF×h，由勾股定理求得△AEF为Rt三角形，S_△AEF=$\frac{1}{2}$AE×EF=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，即可解得h．

解答 （1）证明：如图，因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
所以AE⊥BB₁，
又E是正三角形ABC的边BC的中点，
所以AE⊥BC，
因此AE⊥平面BCC₁B₁；
（2）解：设三棱锥C-AEF的高为h，
∵AA₁=$\sqrt{2}$，则AA₁=BB₁=CC₁=2，CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴${S}_{△ACE}={\frac{1}{2}S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×2×sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴V_C-AEF=$\frac{1}{3}$S_△ACE×CF=$\frac{1}{3}×$S_△AEF×h，
∵AE=$\sqrt{3}$，EF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，AF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴AE²+EF²=AF²=$\frac{9}{2}$，
∴△AEF为Rt三角形，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$AE×EF=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴解得h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，考查了三棱柱体积的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于基本知识的考查．