Question

【题目】如图，在三棱柱中，侧面底面，，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若，，且与平面所成的角为，求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）余弦值为.

【解析】分析：（1）由四边形为菱形，得对角线,由侧面底面，, 得到侧面，从而，由此能证明平面；

（2）由题意易知为等边三角形，以点为坐标原点，为轴,为轴，过平行的直线为，建立空间直角坐标系，分别求出平面的法向量和平面的法向量，由此能求出二面角的平面角的余弦值．

详解：（Ⅰ）由已知侧面底面，, 底面,

得到侧面，

又因为 侧面,所以,

又由已知，侧面为菱形，所以对角线,

即，，,

所以平面.

（Ⅱ）设线段的中点为点，连接,，因为，易知为等边三角形，中线 ,由（Ⅰ）侧面，所以,得到平面，即为与平面所成的角， ,,, ,得到;

以点为坐标原点，为轴,为轴，过平行的直线为，建立空间直角坐标系，,,,,,,，

由（Ⅰ）知平面的法向量为，设平面的法向量，,

解得,,

二面角为钝二面角，故余弦值为.