Question

在梯形ABCD中(图1)，∠DAB=∠ABC=，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，=λ(0＜λ＜1)，G是BC的中点，沿EF将梯形AEFD折起，使AE⊥BE，EG⊥BD(图2)．

(Ⅰ)确定λ的值，并计算二面角D-BF-C的大小；

(Ⅱ)求点C到平面BDF的距离．

Answer 1

解:(1)EA、EB、EF两两垂直,以、、分别显x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则E(0，0，0)，B(4-4λ，4，0)，C(4-4λ，4，0)，C(4-4λ,2，0)，

D(0，2，4λ)，=(4λ-4，2，0)，=(4-4λ，2，0)

∵⊥    ∴-(4λ-4)2+4=0λ=；

即A(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，2，2)，F(0，3，0)

=(-2，3，0)，=(-2，2，2)

设平面DBF的一个法向量为n₁=(x，y,z)

n₁=（3,2,1）

又平面BCF的一个法向n₂=(0，0，1)

cos＜n₁,n₂＞=

∴二面角D-BF-C的平面角为π-arccos

(Ⅱ)∵C(2，4，0) ∴=(0，4,0)

∴点C到面BDF的距离为d=

证法二：(Ⅰ)∵AE⊥BE，=λ，∴EF∥AD，

∵AD⊥AE  ∴EF⊥AE  ∴AE⊥平而EBCF.

作DH⊥EF于H，则DH⊥平面EBCF． ∴DHAE

∵EG⊥BD  ∴EG⊥BH．

∵BG=BC=AD=EH  ∴EBGH是矩形

对角线互相垂直的矩形是正方形

∴EB=BG=AB．∴λ=

过H作HK⊥BF于K，连DK，则DK⊥BF

tan∠DKH=

∴∠DKH=arctan

∴二画角D-BF-C为π-arctan

(或π-arccos)

(Ⅱ)V_D-BFC=V_C-BDF 设C到平面BDF的距离为d

S_△BDF·d=S_△BCF·DHd=