题目内容
一般情况下，桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，会造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度小于40辆/千米时，车流速度为40千米/小时．研究表明：当40≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（Ⅰ）当0≤x≤200，求函数v（x）的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．
（Ⅰ）当0≤x≤200，求函数v（x）的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．
分析：（Ⅰ）由题意可得当0≤x＜40时v（x）的解析式，设出当40≤x≤200时的一次函数解析式，代入点（40，40）与（200，0）求得一次函数解析式，最后分段写出函数v（x）的表达式；
（Ⅱ）利用f（x）=x•v（x）求得函数f（x）的解析式，然后分段求出每一段内的最值，求最值中的最大者得答案．
（Ⅱ）利用f（x）=x•v（x）求得函数f（x）的解析式，然后分段求出每一段内的最值，求最值中的最大者得答案．
解答：解：（Ⅰ）由题意：当0≤x＜40时，v（x）=40；
当40≤x≤200时，设v（x）=kx+b，由已知得
，解得
，
故函数v（x）的表达式为：v(x)=
；
（Ⅱ）由已知f（x）=x•v（x），且v(x)=
，
可得f(x)=
，
当0≤x≤40时，f（x）为增函数，故当x=40时，其最大值为40×40=1600．
当40≤x≤200时，f(x)=-
(x2-200x)=-
(x-100)2+
，
∴当x=100时，f（x）在[40，200]上取得最大值2500．
综上，当x=100时，f（x）在[0，200]上取得最大值2500，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大为2500辆/小时．
当40≤x≤200时，设v（x）=kx+b，由已知得
|
|
故函数v（x）的表达式为：v(x)=
|
（Ⅱ）由已知f（x）=x•v（x），且v(x)=
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可得f(x)=
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当0≤x≤40时，f（x）为增函数，故当x=40时，其最大值为40×40=1600．
当40≤x≤200时，f(x)=-
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 10000 |
| 4 |
∴当x=100时，f（x）在[40，200]上取得最大值2500．
综上，当x=100时，f（x）在[0，200]上取得最大值2500，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大为2500辆/小时．
点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了简单的数学建模思想方法，训练了分段函数解析式的求法，分段函数的最值得求法，分段函数的最值要分段求，是中档题．
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