Question

如图，棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是B₁C₁、C₁D₁的中点，
（1）求证：E、F、B、D四点共面；
（2）求四边形EFDB的面积．

Answer 1

分析：（1）要证明E、F、B、D四点共面，我们观察图形后，发现EF与BD可能平行，连接B₁D₁后，利用中位线及平行四边形的性质，易得到结论．
（2）由（1）的结论，四边形EFDB为一个梯形，根据已知中正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，E、F分别是B₁C₁、C₁D₁的中点，我们求出梯形的上底、下底及高，代入梯形面积公式即可得到答案．

解答：（1）证明：如答图所示，连接B₁D₁，
在△C₁B₁D₁中，C₁E=EB₁，C₁F=FD₁，
∴EF∥B₁D₁，且EF=

1

2

B₁D₁，
又A₁A

∥

.

B₁B，A₁A

∥

.

D₁D，∴B₁B

∥

.

D₁D，
∴四边形BB₁D₁D是平行四边形．
∴B₁D₁∥BD，EF∥BD，
∴E、F、D、B四点共面
（2）由AB=a，知BD=B₁D₁=

2

a，EF=

2

2

a，
DF=BE=

B B 2 1 +B1E2

=

a2+( a 2 )2

=

5

2

a，
过F作FH⊥DB于H，则DH=

DB-EF

2

=

2

4

a
∴FH=

DF2-DH2

=

5 4 a2- 2 16 a2

=

18 16 a2

=

3 2

4

a
四边形的面积为SEFBD=

1

2

(EF+BD)×FH=

1

2

(

2

2

a+

2

a)×

3 2

4

a=

1

2

×

3 2

2

×

3 2

4

a2=

9

8

a2

点评：本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，棱柱的结构特征，其中根据棱柱的结构特征，确定EF∥CD，进而得到结论是解答本题的关键．