Question

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知对任意的n∈N⁺，点（n，S_n）均在函数y=2^x+r（r为常数）的图象上，数列{b_n}对任意的n≥2的正整数均满足2b_n=b_n+1+b_n-1，且b₁+a₁=3，b₅+a₅=22
（I）求r的值和数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）记cn=

bn

4an

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）由已知得出sn=2n+r，求出{等比数列的定义得出r并确定{a_n}的通项公式
（II）数列{b_n}是等差数列，且b₁+a₁=3，b₅+a₅=22，求出b₁=2，b₅=6，数列{b_n}的公差为d=1．b_n=2+（n-1）=n+1．
（III）cn=

bn

4an

=

n+1

2n+1

，应用错位相消法进行求和．

解答：解：（I）因为对任意的n∈N⁺，点（n，S_n）均在函数y=2^x+r（r为常数）的图象上．
所以得sn=2n+r，
当n=1时，a₁=s₁=2+r，
当n≥2时，an=sn-sn-1=2n+r-(2n-1+r)=2n-2n-1=2n-1
又因为{a_n}为等比数列，
所以r=-1，公比为2，
所以an=2n-1…..（5分）
（II）∵数列{b_n}对任意的n≥2的正整数均满足2b_n=b_n+1+b_n-1，
∴数列{b_n}是等差数列
由于a₁=1，a₅=16，b₁+a₁=3，b₅+a₅=22，则b₁=2，b₅=6
∴数列{b_n}的公差为d=

b5-b1

5-1

=1，
∴b_n=2+（n-1）=n+1…（7分）    
（III）因为cn=

bn

4an

=

n+1

2n+1

则T_n=

2

22

+

3

23

+

4

24

+…  +

n+1

2n+1

1

2

Tn=

2

23

+

3

24

+

4

25

+…  +

n

2n+1

+

n+1

2n+2

相减，得

1

2

Tn=

2

22

+

1

23

+

1

24

+

1

25

+…  +

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

1

2

+

1 23 ×(1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

1

2n+1

-

n+1

2n+2

所以T_n=

3

2

-

1

2n

-

n+1

2n+1

=

3

2

- 

n+3

2n+1

…（12分）

点评：本题考查利用数列中a_n与S_n关系求数列通项，等差数列、等比数列的判定，错位相消法数列求和．需具有转化、变形、计算能力．