Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是A₁C₁的中点，
（1）求证：BC₁∥平面AB₁E；
（2）求二面角E-AB₁-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够证明BC₁∥平面AB₁E．
（2）由平面AB₁E的法向量

m

=（1，-1，1），平面AB₁B的法向量

n

=（1，0，0），利用向量法能求出二面角E-AB₁-B的余弦值．

解答：解：（1）设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，
以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵E是A₁C₁的中点，
∴A（2，0，0），B（2，2，0），E（1，1，2），B₁（2，2，2），C₁（0，2，2），
∴

BC1

=（-2，0，2），

AB1

=（0，2，2），

AE

=（-1，1，2），

AB

=(0，2，0)，
设平面AB₁E的法向量

m

=(x，y，z)，则

m

•

AB1

=0，

m

•

AE

=0，
∴

2y+2z=0 -x+y+2z=0

，解得

m

=（1，-1，1），
∵

BC1

•

m

=-2+0+2=0，∴

BC1

⊥

m

，
∵BC₁?平面AB₁E，∴BC₁∥平面AB₁E．
（2）由（1）知平面AB₁E的法向量

m

=（1，-1，1），
∵平面AB₁B的法向量

n

=（1，0，0），
∴二面角E-AB₁-B的余弦值为：
cos＜

m

，

n

＞=

1

3 •1

=

3

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．